Cálculo de integrales y primitivas

La integral
$$\int_a^b f(x)dx$$
 es el área que hay por debajo de la gráfica de la función \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\). (Con signo positivo si la función es positiva y con signo negativo si la función es negativa).

Para calcular la integral \(\int_a^b f(x)dx\), necesitamos encontrar una primitiva de la función \(f(x)\), es decir, necesitamos encontrar una función \(F(x)\), tal que, su derivada coincida con la función inicial, \(F'(x)=f(x)\).

Ahora, utilizando la regla de Barrow, la integral se calcula

$$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Por lo tanto, el problema fundamental del cálculo de integrales lo constituye el cálculo de primitivas. Cuando sólo queremos calcular la primitiva de una función, utilizamos la notación

$$\int f(x)dx=F(x)+K$$

donde \(K\) es una constante cualquiera.

Esta es una tabla de primitivas con las primitivas de las funciones elementales y el siguiente enlace nos lleva a una página en la que podemos calcular primitivas de funciones on line: Integrales online.

¿A qué distancia se encuentra el horizonte?

Nos encontramos en la playa, justo al lado del agua y vemos un barco, muy lejos, sobre la línea del horizonte. Pero ¿realmente está muy lejos? ¿A qué distancia se encuentra el barco? ¿A qué distancia se encuentra el horizonte?

Playa de la Malagueta, Málaga

Precisamente mirando hacia el horizonte, los antiguos empezaron a pensar que quizá la Tierra no era plana y podía ser redonda. Hoy en día ya no nos cabe ninguna duda; si el barco se aleja de nosotros, llegará un momento en el que desaparecerá debido a que la Tierra es redonda. Pero antes de que desaparezca, vamos a calcular a qué distancia se encuentra.

En la figura siguiente hemos representado por \(h\) la altura de la persona que está observando el barco, nuestra altura si queremos ser nosotros los que están en la playa. \(R_T\) es el radio de la Tierra, H es el punto del horizonte, el lugar en el que se encuentra el barco y \(d\) es la distancia que separa nuestra vista del horizonte, lo que queremos calcular.

Un triángulo rectángulo en la Tierra

En la figura observamos un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide \(R_T+h\). Los otros dos lados, los catetos, miden \(R_T\) y \(d\), respectivamente. Por lo tanto, utilizando el teorema de Pitágoras, que relaciona las medidas de los tres lados de un triángulo rectángulo, tenemos que $$d^2+R_T^2=(R_T+h)^2$$

Desarrollando el segundo miembro de la expresión y despejando \(d\), obtenemos

$$d=\sqrt{2R_Th+h^2}$$

Como la altura del observador, \(h\), es muy pequeña en comparación con el radio de la Tierra \(R_T\), la distancia a la que se encuentra el horizonte es, aproximadamente

$$d\approx\sqrt{2R_Th}$$

Así, por ejemplo, si el observador tiene una altura de 1,70 m, la distancia hasta la que podrá ver será

$$d\approx\sqrt{2R_Th}=\sqrt{2\cdot 6371\cdot 0,0017}=4,6\mbox{ km}$$

Y esta es la distancia aproximada a la que se encuentra el barco, a \(4,6\) km. Claro, que si nos subimos a una silla, podemos ver más lejos. Y si nos subimos a un punto algo más alto, llegaremos a ver mucho más lejos. Ahora dejamos la playa de la Malagueta y subimos paseando hasta el castillo de Gibralfaro, que se encuentra a \(h=130\) metros sobre el nivel del mar. Utilizando la fórmula anterior, ahora podemos llegar a ver hasta una distancia aproximada de \(d=40,7\) km.

Castillo de Gibralfaro, Málaga

Dejamos Málaga y nos vamos a Galicia. Desde el faro del cabo Fisterra en Costa da Morte, que se encuentra a una altura de \(h=138\) metros por encima del nivel del mar, podemos llegar a ver hasta una distancia de \(d=41,9\) km.

Cabo Fisterra, Galicia

Derivadas y reglas de derivación

La siguiente es una tabla que contiene una lista de derivadas de las funciones elementales y las reglas de derivación. Pincha en la siguiente imagen para descargarla:

Gráficas y derivadas de funciones

En esta primera entrada vamos a mostrar una herramienta, creada con el programa Geogebra, que permite dibujar gráficas de funciones y calcular sus derivadas.

Para activar la herramienta, pinchar en el siguiente enlace

Gráfica y derivadas con Geogebra

(Para que funcione es preciso tener el navegador con Java actualizado. Si fuera preciso, se puede descargar la última versión de Java en la página www.java.com).

La herramienta funciona de una forma muy sencilla. La función f(x) se escribe en la ventana y después se pulsa Intro. Aparecerán automáticamente las derivadas primera y segunda, así como sus valores en un punto. También aparecerá la ecuación de la recta tangente en ese mismo punto. Para cambiar el punto, podemos mover con el ratón la recta tangente.